3.2 随机响应

让我们回想一下第2节中描述的用于评估非法行为发生频率的简单随机响应机制。 让XYZ成为这样的活动。 面对查询“您在过去一周内从事XYZ吗？”，指示受访者执行以下步骤：

• 1.掷硬币。
• 2.如果是反面，请如实回应。
• 3.如果是正面，那么再掷第二枚硬币，如果正面回答“是”，如果是反面则回答“否”。

随机响应背后的动机是，它提供了“合理的否认”。例如，可能提供了“是”响应，因为第一次和第二次硬币翻转都是正面，概率为1/4。换句话说，隐私是通过过程获得的，没有“好”或“坏”的响应。获得响应的过程会影响如何合理地解释它们。如下声明所示，这种随机响应是差分隐私的。

命题 3.5 上述随机响应方法是 $(ln3,0)$- 差分隐私的。

【证明】： 假设固定随机响应者为同一人。上述分析表明 $\text{Pr}[Response=Yes|Truth=Yes]=3/4$ 。具体来说，当事实是“是”时，如果第一个硬币出现反面（概率1/2）或第一个和第二个出现正面（概率1/4），则结果将是“是”，而 $\text{Pr}[Response=Yes|Truth=No]=1/4$ （第一个出现在正面，第二个出现反面；概率为1/4）。同理，将类似的推理应用于事实为“否”的情况，我们获得：

$\begin{aligned} \frac{\text{Pr}[Response=Yes|Truth=Yes]}{\text{Pr}[Response=Yes|Truth=No]} \\ = \frac{\text{Pr}[Response=No|Truth=No]}{\text{Pr}[Response=No|Truth=Yes]} &= \frac{3/4}{1/4} = 3 = exp(ln3) \end{aligned}$

于是 $\ \varepsilon = ln3$ 上述随机响应方法是 $(ln3,0)$- 差分隐私的。

【命题 3.5证毕】